Criptografia de Curva Eliptica

[CHR0N05]

Criptografia de Curvas Elípticas

vVegeta

INDICE

• Introducción
• Objetivos
• Curva Elíptica
• Criptografía de Curva Elíptica
• Ataques
• -->Rho de Pollard
• Conclusión
• Bibliografía

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[CHR0N05]

INTRODUCCIÓN

Antes de comenzar, debemos tener en cuenta que debemos tener conocimientos previos tales como Criptografía Básica, C++ (medio), y Matemáticas (medio).

Hablando un poco de Curvas Elípticas, es un poco dificil y engorroso de explicar, pero no imposible.

Este artículo lo basaré en varias secciones, por lo que ahora solo daremos una pequeña introducción a las Curvas Elípticas (Ojo, no Criptografía basada en Curvas Elípticas).

Basándome un poco en lo que leí (Wikipedia), encontré bastante complicado de explicar y de entender para personas que recien comienzan (me incluyo) con este tipo de Matemáticas, haci que veamos que es lo que puedo hacer... XD

Espero sea de su agrado, que se pueda comprender y entender el artículo y que podamos seguir avanzando en lo que es Criptografía de Curvas Elípticas.

Sin embargo pretendo que este articulo, o mini tutorial sea práctico para todos, por ello pretendo dar a conocer la conocer este sistema criptográfio tratando de utilizar los menores conocimientos de matemáticos.

Pero debemos tener en cuenta que la teoria asociada a las curvas elípticas es demasiado extensa y compleja, por ello como he dicho anteriormente deseo que toda persona que lea este articulo sea capaz de entender y comprenderlo.

Veremos las operaciones básicas (suma y multiplicacion), y luego contaremos los puntos asociados a la curva.

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OBJETIVOS

• Curva Eliptica, una pequeña introducción
• Dar a conocer la Criptografia en curvas elípticas
• Conocer los Algoritmos
• Conocer el Ataque Rho de Pollard

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Curva Elíptica

Como nos basaremos en Criptografía, definiremos la ecuación de la curva Elíptica como y²=x³+Ax+B... ¿Qué rayos significa esto???...

La Ecuación y²=x³+Ax+B, quiere decir que tanto A como B, son constantes y cumplen con la siguiente ecuación 4A³+27B²≠0

En los últimos 30 años la criptografía se ha extendido principalmente al campo comercial, ésto impulsó la investigación de más teorías matemáticas a la criptografía. Entre estas teorías está la que trata las curvas elípticas definidas en un campo finito. Las curvas elípticas entran en acción al definir el Problema del Logaritmo Discreto (del cual pretendo hablar un poco) sobre el grupo de puntos racionales de una curva elíptica, esto fue notado de forma independiente por V. Miller y N. Koblitz (1985). Así es posible definir esquemas como el de intercambio de claves y de firma digital.

Como se ha dicho anteriormente es solo una pequeña introducción, un par de libros para su presente lectura hace mal a nadie... XD:

En Inglés:

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PD. corregido el error de símbolo... :S

[askatasun]

4A³+27B²^0

eso no seria igual a 4A³+1??

estaria bien que pusieras enlaces de libros en español  asi se podria entender mucho mejor

[vengador de las sombras]

eso no seria igual a 4A³+1??

estaria bien que pusieras enlaces de libros en español  asi se podria entender mucho mejor

Fíjate que creo que ha cometido un error... porque no dice a qué es igual, es decir, no cumple ninguna condicion... puede ser cualquier número, no tiene identidad de ecuación... ¿no? Devería de ser así (corregidme, que no doy matemáticas XD):

Código:

4A³+27B² != 0

Y respecto a lo de los libros en español, sería de mucha ayuda XD.

[CHR0N05]

Wenas!!

Fíjate que creo que ha cometido un error... porque no dice a qué es igual, es decir, no cumple ninguna condicion... puede ser cualquier número, no tiene identidad de ecuación... ¿no? Devería de ser así (corregidme, que no doy matemáticas XD):

Código:

4A³+27B² != 0

Y respecto a lo de los libros en español, sería de mucha ayuda XD.

De hecho, cometi el pequeño error que la ecuación es de este modo:

4A³+27B² = 0 (donde = es distinto)....  , disculpen pero ni idea como poner ese simbolo... :S

eso no seria igual a 4A³+1??

estaria bien que pusieras enlaces de libros en español  asi se podria entender mucho mejor

Si explicas el porque deberia ser igual a esta ecuación podriamos hacer un pequeño debate no crees .

Y con respecto a los libros en Español, buscaré, pero buenos libros... porque he encontrado algunos... que no valen la pena...

Saludos...

[askatasun]

cualquier cosa elevada a 0 es uno, a eso me referia.. creia que con el ^ estavas indicando una potencia, pero a veo que me he debido de equivocar 

4A³+27B²^0

[CHR0N05]

Wenas!!

Bueno... al ver e informarme de varios libros relacionados con Curvas Elípticas, me quedo con este...


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Curvas Elípticas --> Carlos Ivorra Castillo

La teoría de las curvas elíıpticas es una de las creaciones más interesantes
de la matemática del siglo XX, si bien sus antecedentes se remontan hasta la
matemática griega. Con la teoría que vamos a desarrollar en este libro podremos
tratar problemas como éste (resuelto por Mordell en 1962):

Problema 1 Demostrar que los únicos números naturales no nulos que pueden
expresarse simultáneamente como producto de dos y tres números consecutivos
son

[]6 = 2 · 3 = 1 · 2 · 3 y 210 = 14 · 15 = 5 · 6 · 7.[/b]

Esto equivale a encontrar las soluciones enteras de la ecuaci´on

Y (Y + 1) = (X − 1)X(X + 1).

El problema puede ser abordado mediante técnicas de la teoría algebraica de
números, es decir, utilizando la factorización real o ideal de los anillos de enteros
algebraicos de los cuerpos numéricos. Sin embargo, nosotros lo trataremos desde
el punto de vista de la geometría algebraica. La ecuación anterior determina
una curva proyectiva regular de género 1, y la cuestión es, pues, encontrar los
puntos con coordenadas enteras de una curva algebraica dada.

......

Aunque recien lo comencé a leer y estudiar un poco, prefiero dejar a este punto un tiempo este mini tutorial, estar mejor preparado para responder preguntas... y hasta resolver incógnitas por nosotros mismos...

Dejaré esto un lapso de una semana apartir de hoy 25 de Enero 2008, hasta el 1 de Febrero de este año....

Saludos...


Ps. el Tema seguirá abierto para quienes quieran hacer las preguntas pertinentes a este mismo...

[WaesWaes]

con respecto a lo de los manuales en ingles...porqu e no los traducen con google...la barra google no sirve pero...."selecionar texto" seleccionan una parte y la pasan por el traductor de google y lo guardan en un .txt o un .doc y se arman de una BUENA guia en español

Tres conferencias sobre la aritmética de curvas elípticas.
(- Son muy bruto, sin editar, y notas preliminares - BM)
Clase I. Introducción a los problemas de ABC.
I.1 ¿Qué es la Teoría de Números? Y ¿por qué llegar a ser tan directamente vinculado a
Geometría? A la teoría de la representación de los grupos? O, en la actualidad, a la física? ¿Qué tan difícil
Es, para medir la importancia, la centralidad, de una pregunta acerca de los números! Que
Son las preguntas que resultan ser frívolo dotings mera superficie de los fenómenos?
Y preguntas que llevan a una comprensión más profunda de la estructura? O tal vez usted puede ser
Quiere wonderings con estas palabras el tono opuesto: ¿Cuáles son las preguntas que
Se limita a llevar la cuestión a la pregunta más alejadas de las estructuras, más allá y más lejos de la base
Objeto? Y de las preguntas que se mantenga fiel concentrarse en la textura de los números y
Sus interrelacione s?
El tema tiene una abundancia de la famosa antiguos problemas: las preguntas directas, que pueden
Se pregunta en no demasiado técnico, casi pre-matemáticas, el idioma: preguntas sobre la
Colocación de los números primos entre todos los números (la conjetura Goldbach, los dos primeros
Conjetura, la "hipótesis de Schinzel" predecir cuando hay un número infinito de prime
Número de valores de un polinomio, etc), y también las preguntas sobre el comportamiento de la
Conjuntos de "perfecto poderes" en virtud de simples operaciones aritméticas.
Es este segundo tipo de pregunta que quiero hablar de esta hora. Un perfecto
El poder es la n-ésima potencia de un entero, donde n es algún número natural> 1. Estos han
Atrajo la atención de los primeros tiempos, a partir de cuadrado perfecto, que se plantean
En la reflexión sobre la relación dada en el Teorema de Pitágoras, que se aplica a
Ángulo recto triángulos de las tres partes de cuyos integrantes son múltiplos de una unidad determinada. De
Supuesto, perfecto plazas surgir en otras formas también, considerar la posibilidad de Fibonacci de la reflexión en su
Tratado "Liber Quadratorum" en 1225 en perfecto plazas:
"Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que se derivan
El aumento de la secuencia de números impares; a la unidad es un cuadrado. A saber 1; a este
La unidad se añadirá 3. Haciendo la segunda plaza, a saber, el 4, con raíz 2; si la suma se añade a
El tercer número impar, a saber, 5 ,..."
No hay final de los problemas en relación con la famosa mayoría simple de las cuestiones de aparente
Perfecta colocación de los poderes, y las cantidades de ellos, el número de línea, (Fermat: para n> 2
La suma de dos potencias n-ésimo nunca es una n-ésima potencia; catalán (1844): los números 8 y 9
Son las únicas potencias consecutivas perfecto; Waring etc Asimismo, se plantea el problema (en la primera
Vista, es algo curioso que solo este problema!), De encontrar para cualquier entero fijo
K, todas las soluciones integrales a los "Mordell Equation"
Y 2 ¡X3 = k:
En cuanto a Último Teorema de Fermat, ahora tenemos una prueba, gracias a la célebre esfuerzos
De Wiles y Taylor (1995).
1

muy simple...y recuerden que casi siempre va a haber mejores manuales en ingles que en castellano

y les dejo tambien esto a mano por si lo nesesitan

Código:

≠

desigual

con respecto al tema todavia no lo logro entender pero se deve a que todavia no le dedique tiempo de comprencion

saludos

[CHR0N05]

Wenas!!

con respecto a lo de los manuales en ingles...porqu e no los traducen con google...la barra google no sirve pero...."selecionar texto" seleccionan una parte y la pasan por el traductor de google y lo guardan en un .txt o un .doc y se arman de una BUENA guia en español

muy simple...y recuerden que casi siempre va a haber mejores manuales en ingles que en castellano

y les dejo tambien esto a mano por si lo nesesitan

Código:

≠

desigual

con respecto al tema todavia no lo logro entender pero se deve a que todavia no le dedique tiempo de comprencion

saludos

 ... gracias... por el símbolo... XD (≠)

Con respecto a las traducciones de Google, personalmente no me gustan, ya que no son interpretativa s.. Y por lo mismo, es mejor aprender el idioma Universal (Inglés [USA] y el Británico no tanto...).

Saludos....

[CHR0N05]

Criptografia de Curvas Elìpticas

Viendolo desde el punto de vista empresarial, tenemos que tener en cuenta que debemos garantizar la privacidad, integridad o la misma autenticaciòn de la informaciòn que se transmite desde un punto hacia otro.

Los criptosistemas de curva elìptica son una gran alternativa ante otros criptosistemas (clave pùblica [RSA]), ya que el tamaño de claves que se requiere es mas pequeña, manteniendo de la misma forma la seguridad.

Criptosistemas basados en Curvas Elìpticas


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ElGamal

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RSA

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Firma Digital con curvas elìpticas

Introducción a los Criptosistemas con Curvas Elípticas

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Curvas Elípticas en Criptografía Libros

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Fuerza bruta a una clave elíptica

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NSA, RSA vs. ECC

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¿Qué es la criptografía de curva elíptica?

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Descubierta mediante fuerza bruta una clave con criptografía elíptica

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Ps. Puse mejor link en el caso de cualquier duda, si no es resuelta en estos tomos, liros, blog entre otros.. en este mismo post pongan sus dudas.... aqui mismo se resuelven...

Ps.

estaria bien que pusieras enlaces de libros en español  asi se podria entender mucho mejor

Saludos

[vengador de las sombras]

Los criptosistemas de curva elìptica son una gran alternativa ante otros criptosistemas (clave pùblica [RSA]), ya que el tamaño de claves que se requiere es mas pequeña, manteniendo de la misma forma la seguridad.

  El RSA creo que (bajo mi punto de vista, apenas sé, pero soy muy aficionado a estos temas) que tiene más seguridad que los criptosistemas basados en curva elíptica, debido a que para estos criptosistemas existen ya ataques establecidos, como puede ser el de Rho, pero (creo) que para los algoritmos RSA tan solo existe la Factorización, y éste proceso es muy costoso para las máquinas y demás... (aunque hay ecuaciones establecidas para extraer números primos e ir probando...)


  ¿Realmente tienen el mismo nivel de seguridad los algoritmos RSA que un criptosistema basado en Curva Elíptica?

[CHR0N05]

Wenas!!

  El RSA creo que (bajo mi punto de vista, apenas sé, pero soy muy aficionado a estos temas) que tiene más seguridad que los criptosistemas basados en curva elíptica, debido a que para estos criptosistemas existen ya ataques establecidos, como puede ser el de Rho, pero (creo) que para los algoritmos RSA tan solo existe la Factorización, y éste proceso es muy costoso para las máquinas y demás... (aunque hay ecuaciones establecidas para extraer números primos e ir probando...)


  ¿Realmente tienen el mismo nivel de seguridad los algoritmos RSA que un criptosistema basado en Curva Elíptica?

NSA, RSA vs. ECC

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Leelo...

Saludos...